por Ednilson Rotini
Os fractais deram origem a um novo ramo da matemática, muitas vezes designado como a geometria da natureza. As formas estranhas e caóticas dos fractais descrevem alguns fenômenos naturais, como os sismos, o desenvolvimento das árvores, as redes hidrográficas, a estrutura da casca de uma árvore, a forma de algumas raízes, como do gengibre, a linha de costa marítima, as nuvens. É importante ressaltar que figuras que no século passado eram vistas como anomalias matemáticas, hoje apresentam um papel fundamental na interpretação da realidade. Além disso, este tipo de geometria aplica-se em variados ramos como na Arte, na Astronomia, no Cinema, na Economia, na Hidráulica, na Geologia, na Meteorologia e até na Lingüística, onde a teoria dos fractais é utilizada na evolução dos dialetos.
Aplicação dos Fractais na Medicina:
Uma outra área do conhecimento, onde se aplica a teoria dos fractais é a Medicina. De maneira geral, esta teoria matemática apresenta características em fenômenos cardíacos e pulmonares, além de uma aplicação notável na tomografia computadorizada, através da análise de imagens geradas, possibilitando aos médicos uma nova visão da anatomia interna do corpo humano.
Neste artigo, pretende-se dar uma idéia de uma aplicação recente que vem sendo dada aos fractais junto ao diagnóstico de câncer bucal. Salienta-se que existe um grupo de matemáticos e patologistas que estão concentrando seus esforços nesta pesquisa.
Primeiramente, é fundamental fornecer uma explicação breve sobre uma ferramenta matemática denominada contagem de caixas. Imagine uma figura qualquer, como por exemplo, a folha de uma planta e que sobre esta imagem, seja colocada uma espécie de “malha quadriculada transparente”, conforme a figura 1.
Essa malha é composta de um número x de quadradinhos – chamados de caixas –, sendo que a medida do lado de cada caixa é y. Imagine que sejam colocadas sobre a figura outras malhas do mesmo tamanho, porém “mais finas”, isto é, malhas cujas caixas tenham medidas menores do que y. Veja a figura 2 a seguir.
Pode-se então contar quantas caixas de cada malha são necessários para cobrir a imagem. No primeiro caso, cada caixa tem 100 milímetros de lado e são necessários 26 caixas para cobrir a imagem da folha; para a segunda malha que possui caixas com lados medindo 50 milímetros são necessários 90 caixas; e finalmente, para a terceira malha com caixas medindo 25 milímetros são necessários 315 caixas. Com isso, geram-se três pontos: (100;26), (50;90), (25;315). Quanto mais malhas diferentes forem utilizadas, mais pontos serão gerados e com todos esses pontos plota-se uma reta do tipo y = a . x, onde a é a inclinação ou coeficiente angular da reta[1]. Esse coeficiente angular fornece também a dimensão do gráfico que pode ser inteira ou fracionária como na geometria fractal. No exemplo utilizado acima, temos o seguinte gráfico e coeficiente angular ou inclinação da reta (figura 3).
Os fractais deram origem a um novo ramo da matemática, muitas vezes designado como a geometria da natureza. As formas estranhas e caóticas dos fractais descrevem alguns fenômenos naturais, como os sismos, o desenvolvimento das árvores, as redes hidrográficas, a estrutura da casca de uma árvore, a forma de algumas raízes, como do gengibre, a linha de costa marítima, as nuvens. É importante ressaltar que figuras que no século passado eram vistas como anomalias matemáticas, hoje apresentam um papel fundamental na interpretação da realidade. Além disso, este tipo de geometria aplica-se em variados ramos como na Arte, na Astronomia, no Cinema, na Economia, na Hidráulica, na Geologia, na Meteorologia e até na Lingüística, onde a teoria dos fractais é utilizada na evolução dos dialetos.
Aplicação dos Fractais na Medicina:
Uma outra área do conhecimento, onde se aplica a teoria dos fractais é a Medicina. De maneira geral, esta teoria matemática apresenta características em fenômenos cardíacos e pulmonares, além de uma aplicação notável na tomografia computadorizada, através da análise de imagens geradas, possibilitando aos médicos uma nova visão da anatomia interna do corpo humano.
Neste artigo, pretende-se dar uma idéia de uma aplicação recente que vem sendo dada aos fractais junto ao diagnóstico de câncer bucal. Salienta-se que existe um grupo de matemáticos e patologistas que estão concentrando seus esforços nesta pesquisa.Primeiramente, é fundamental fornecer uma explicação breve sobre uma ferramenta matemática denominada contagem de caixas. Imagine uma figura qualquer, como por exemplo, a folha de uma planta e que sobre esta imagem, seja colocada uma espécie de “malha quadriculada transparente”, conforme a figura 1.
Essa malha é composta de um número x de quadradinhos – chamados de caixas –, sendo que a medida do lado de cada caixa é y. Imagine que sejam colocadas sobre a figura outras malhas do mesmo tamanho, porém “mais finas”, isto é, malhas cujas caixas tenham medidas menores do que y. Veja a figura 2 a seguir.
Pode-se então contar quantas caixas de cada malha são necessários para cobrir a imagem. No primeiro caso, cada caixa tem 100 milímetros de lado e são necessários 26 caixas para cobrir a imagem da folha; para a segunda malha que possui caixas com lados medindo 50 milímetros são necessários 90 caixas; e finalmente, para a terceira malha com caixas medindo 25 milímetros são necessários 315 caixas. Com isso, geram-se três pontos: (100;26), (50;90), (25;315). Quanto mais malhas diferentes forem utilizadas, mais pontos serão gerados e com todos esses pontos plota-se uma reta do tipo y = a . x, onde a é a inclinação ou coeficiente angular da reta[1]. Esse coeficiente angular fornece também a dimensão do gráfico que pode ser inteira ou fracionária como na geometria fractal. No exemplo utilizado acima, temos o seguinte gráfico e coeficiente angular ou inclinação da reta (figura 3).
Agora vamos aplicar essa ferramenta matemática no processo de diagnóstico de câncer bucal. Para facilitar o entendimento, vamos realizar por comparação. Primeiramente, observe a imagem feita por um patologista, onde identifica, através de uma linha amarela a separação entre o epitélio[2] e o estroma[3] (figura 4).
Em seguida, observe uma outra imagem, onde foi feito o mesmo processo de identificação por um patologista – figura 5. Neste caso, percebe-se que o epitélio se encontra com neoplasia[4] .
A partir disso, têm-se duas linhas relacionadas cada uma com um tecido em estágios diferentes. Da mesma maneira que foi feito com a folha, faz-se com essas duas linhas, ou seja, utiliza-se o processo de contagem das caixas sobre estas linhas, conforme observa-se nas figuras 6 e 7 abaixo.
Assim, para cada imagem de tecido, é gerado um sistema de pontos, que por sua vez dá origem a uma reta, cuja inclinação fornece a dimensão fractal (não-inteira) do gráfico (figuras 8 e 9).
A análise e o estudo de vários casos contribuiu na elaboração de um gráfico de parâmetros (figura 10) que pode ajudar no diagnóstico de uma inflamação ou de uma displasia[5] ou de um carcinoma[6]. É claro, que isso é apenas mais uma ferramenta para auxiliar os médicos, mas mostra a participação efetiva da Matemática em outras áreas, aparentemente sem ligação alguma.
[1]
Este processo é feito com auxílio de computadores para uma maior precisão.
[2] Uma ou mais camadas
de células epiteliais que recobrem as superfícies internas e externas do corpo.
[3] Tecido conjuntivo de
sustentação de um órgão, com abundante circulação, por onde o tecido essencial
do órgão é nutrido e enervado.
[4] Neoplasia é o
crescimento celular descontrolado que sucede a ausência de demanda fisiológica.
[5] Displasia é o
crescimento celular anômalo, resultando em células que diferem de tamanho,
formato ou arranjo em relação às outras células do mesmo tipo de tecido.
[6] Carcinoma é o câncer
de células epiteliais; é a forma mais comum de câncer em humanos. Pode ser
expansivo ou infiltrativo.
