Na postagem anterior sobre este assunto, apresentamos a primeira de três partes do artigo de Piergiorgio Odifreddi na qual ele apresenta dois livros sobre a inteligência artificial que se apoiam no teorema de Gödel. Aqui vai a segunda parte onde o autor expõe considerações sobre esse teorema.
O teorema de Gödel
Nas discussões filosóficas, tais como aquela sobre a Inteligência Artificial, os aspectos técnicos do teorema de Gödel são ao mesmo tempo um obstáculo, uma diversão e uma cobertura.
Trata-se de um obstáculo, porque, enquanto a demonstração do teorema de Gödel é um apenas um jogo para os matemáticos por sua simplicidade é, para uma pessoa de fora, complicado e requer técnicas 'novas' e por esta razão Hofstadter e Penrose são obrigados a longas explicações, para serem convincentes.
É uma diversão, porque a formulação técnica que se refere a precisas propriedades de determinados sistemas matemáticos, pode ser usada fora da matemática somente depois de ser despojada de tais precisões e propriedades, e, portanto, apenas de uma forma na qual os aspectos técnicos tenham desaparecido.
E é uma cobertura quando, inclinando-se sob o poder avassalador da ciência moderna, chega-se a pensar que é somente através do método científico que se pode alcançar uma "verdade", e então cobre-se com fórmulas um argumento filosófico apenas para fazê-lo parecer respeitável.
Em primeiro lugar, o princípio fundamental do Teorema Gödel já havia sido claramente indicado por Kant, tanto sua “Crítica da Razão Pura” como nos “Prolegômenos a toda Metafísica Futura”. Isto não é surpreendente, dado que Gödel apontaria como a razão do seu sucesso a seguinte receita: "focar apropriadas noções filosóficas tradicionais e, se possível, adicionar uma pitada de precisão".
O sistema de Kant pode agora ser descrito brevemente, dizendo que as categorias ("conceitos intelectuais", por exemplo) são simplesmente as noções primitivas de uma formulação de cálculo de predicados. As idéias transcendentais ("conceitos da razão") são obtidas por uma passagem ao limite de algumas dessas categorias. Em particular, o limite da implicação - que corresponde à categoria de causalidade - é alcançado indo-se o mais para trás possível na busca das premissas (ou causas), e é dito causa primeira; o limite de disjunção - que corresponde à categoria de comunidade - consiste em considerar uma disjunção tão abrangente que engloba todas as coisas, e é chamado de Deus; e, finalmente, até o limite de predicado atômico - que corresponde à categoria de substância - que chega à noção de individualidade e é chamado de alma.
Os racionalistas, como Descartes e Leibniz, que fizeram da razão base adequada de suas filosofias, aceitaram não só considerar estas idéias transcendentais como sensatas, como tentaram provar a sua existência mediante argumentos racionais. Seus trabalhos coroaram em certo sentido uma tradição patrística e escolástica, em que se abandonava a 'prova' da existência de deus (escrevemos "deus" e não "Deus" de acordo com Tomás de Aquino, que havia advertido que um deus cuja existência fosse provada não poderia ser o Deus da revelação, de cuja existência se devia crer por fé, e não por motivos racionais).
Kant não se limitou a observar o fracasso dessas tentativas de "demonstração", foi muito além disso. Ele mostrou, através de quatro antinomias, que as idéias transcendentais são contraditórias, e apresentou a seguinte conclusão: se você precisar de completude da razão, permitindo a consideração de ideias "até o limite", você cai na inconsistência. Em particular, as idéias transcendentais são As Colunas de Hércules do intelecto, e todo aquele que tente superá-las esta destinado a se afogar em contradição.
A conclusão de Kant pode ser reformulada, dizendo que se a razão quer ser coerente, não pode ser completa (no sentido de poder decidir sobre todo problema que esta coloca). Se se substituir a 'razão' por 'sistema matemático", você tem uma formulação precisa do Teorema de Gödel. E a prova de Gödel procede, em essência, como a de Kant: dado um sistema matemático, Gödel considera ideia transcendental aquela obtida como o limite da não demonstrabilidade no sistema (uma fórmula que diga de si mesma que não é demonstrável no sistema) , e mostra que, se o sistema é completo (ou seja, decide cada fórmula, demostrando ou a si mesma ou a sua negação), então você acaba caindo em contradição.
O resultado que do acabamos de discutir é frequentemente chamado ‘primeiro’ Teorema Gödel para distingui-lo de sua consequência, que é chamada de "segundo" teorema de Gödel. Esta é, simplesmente, uma formulação precisa da seguinte intuição psiquiátrica. Quando alguém diz, provavelmente em uma voz agitada e gestos: "Olha, eu não sou louco", a nossa reação natural é dar um passo atrás e colocarmo-nos em guarda: quem não é louco de fato não tem, geralmente, necessidade de declarar isso, essas declarações bastante suspeitas, ao contrário, são frequentemente gritadas por alguém sendo levado para um manicômio, numa camisa de força. Por outro lado, de um louco bem podemos esperar qualquer afirmação, inclusive aquela de, não ser louco (desde que, é claro, ele tenha um nível mínimo de expressão).
De um ponto de vista lógico, Gödel descobriu que a mesma situação surge para sistemas matemáticos. Um sistema é inconsistente (matematicamente "louco"), se dele se pode esperar qualquer afirmação (ou seja, se ele demonstra qualquer fórmula). E os únicos sistemas que comprovam a sua consistência (isto é, que não afirmam serem "loucos") são precisamente os que são inconsistentes (desde que, é claro, tenham um nível mínimo de expressão) .
Gödel apresentou este teorema, no final do seu trabalho de 1931, como uma “merkwürdig", (em alemão, ‘curiosidade’). Mas isso excitou as mentes, e a prova disso, foi a tradução para notável (em inglês, remarkable), ou seja, "significativo" e mais tarde até mesmo “surpreendente” (surprising). A reação de Gödel quando leu a tradução foi: 'Se eles acham que é incrível, o que eu posso fazer?'.
*Este artigo publicado oiriginalmente em italiano, em “La rivista dei libri” (edição Italiana do “New York Rewiew of Books”), por Piergiorgio Odifreddi, matemático e logicista italiano, apaixonado por História da Ciência, é composto de três partes. As duas outras aparecerão em números posteriores deste informativo. (Sergio A. B. Faria)
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