domingo, 17 de março de 2013

O Número pi e a probabilidade: um caso curioso!

Por Anisio Lasievicz

O número 3,1415.... figura entre as mais importantes constantes matemáticas. É obtido pela razão entre o comprimento (perímetro) de uma circunferência pelo seu respectivo diâmetro, não importando se a circunferência é do tamanho de um botão de roupa ou do equador terrestre. O Matemático Leonard Euler batizou esta constante com a letra grega pi minúsculo (π).

Os primeiros registros desta relação entre perímetro e diâmetro estão presentes nos versículos da Bíblia que narram a construção do Templo de Salomão, onde é adotado o valor de 3. Desde então vários matemáticos dedicaram seus esforços para desvendar os segredos e obter métodos que fornecessem mais e mais casas após a vírgula, visto que π é um número irracional (não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros).

Figura 1 - Conde de Buffon
Uma das descobertas mais curiosas desta história pertence ao naturalista e matemático francês George Louis Leclerc (1707 – 1788), conde de Buffon, famoso pela obra de 44 volumes intitulada “História Natural”, cujas ideias vão influenciar Lamarck e Darwin anos mais tarde.

Em 1777 Buffon propôs um problema que relacionou a probabilidade (campo em ascensão na época) à geometria:

Suponha que uma agulha com comprimento l seja lançada o acaso em um chão formado por tábuas paralelas de largura t, sendo t > l. Qual é a probabilidade (P) de que a agulha caia entre duas tábuas (figura 2)?

Figura 2. Agulha em (a) cruza a junção. Agulha em (b) não cruza.
A resposta para esta pergunta é P = 2.t / π.l

Caso realizemos este experimento e anotemos os casos em que a agulha cruzar a junção entre as tábuas, podemos usar a expressão acima para encontrar um valor empírico para pi. Em 1901 o italiano Lazzerini obteve pi corretamente até a 6ª casa decimal lançando a agulha 3048 vezes.

Outro fato curioso envolvendo π e probabilidade é que se escrevermos dois números inteiros positivos, a probabilidade que que eles sejam primos entre si (sejam divisíveis simultaneamente apenas por 1) é 6/π2!

REFERÊNCIAS

EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução Hygino H. Domingues. - Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.


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