domingo, 9 de junho de 2013

Matemática no divã: Fractais na "intimidade" da Teoria dos Números!

Por Ednilson Rotini

O desenvolvimento da teoria da geometria fractal, a partir da década de 1980 já tem sido muito aprofundada e as novas descobertas tem encontrado cada vez mais caminho no que se refere à aplicabilidade. 

Neste blog, por exemplo, já apresentamos uma aplicação de conceitos da geometria fractal na medicina em relação ao diagnóstico de câncer. Além desse, podemos encontrar outros exemplos como na Engenharia no desenvolvimento de modelos de fractais utilizados nos fenômenos de percolação presentes na exploração petrolífera ou na simulação de paisagens utilizadas na indústria cinematográfica.

Entretanto, nesse contexto algo incomodava os matemáticos. Era o fato que, desde o desenvolvimento da teoria fractal, por 30 anos, não houve um único resultado matematicamente significativo. É claro que se avançou muito na compreensão dos fractais, mas ao contrário do que se imaginava, a aplicação direta nas áreas da Matemática foi nula.

Ken Ono
Isso mudou a partir de 2011, quando o matemático americano Ken Ono, especialista, em Teoria de Números e Análise Combinatória, conseguiu dois resultados importantes no campo mais puro da Matemática, a Teoria de Números, utilizando essencialmente conceitos de natureza fractal. Ele se concentrou no problema de partição de números inteiros, que por séculos ficou em aberto, mesmo utilizando as abordagens mais habituais.

O conceito de base da Teoria de Números, área chamada por Gauss de Rainha da Matemática, é a questão da partição de um número inteiro. Mas o que é isso?

Imagine que você tenha cinco caixas e quer guardá-las numa estante. De quantas maneiras você pode realizar isso? Por exemplo, você pode colocar as cinco caixas em uma única pilha na vertical, ou então em uma pilha de três caixas e outra com duas, ou ainda, uma caixa ao lado da outra. Cada uma dessas possíveis disposições é uma maneira de partição do conjunto inicial de caixas.

Agora, falando em números inteiros, a questão é saber qual o número de partições p(n) quando dado um número inteiro n. No caso das caixas, isso é fácil apresentar todas as 7 partições:

PARTIÇÕES DO NÚMERO 5

1+1+1+1+1
1+1+1+2
1+1+3
1+4
2+3
1+2+2
5
É fácil perceber que são apenas essas 7 possibilidades  de reescrever o número 5 como uma soma de inteiros menores. Assim, p(5) = 7.

De modo parecido poderíamos de concluir que p(3) = 3 ou que p(4) = 5 ou que p(6) = 11 e assim por diante. Mas o que acontece com p(n) quando  n começa a crescer? Determinar uma a uma as partições de um certo número inteiro grande pode ser muito trabalhoso e cansativo e até mesmo desnecessário se o objetivo é determinar a quantidade dessas partições. Logo, podemos considerar a existência de uma determinada função p(n) que depende do valor de n. E é aí que os matemáticos se depararam com um problema. A função p(n) apresentava um comportamento muito estranho e, aparentemente, caótico, a medida que n aumenta.

Observe a tabela a seguir: 

PARTIÇÕES DO NÚMERO n
n
p(n)
1
1
2
2
3
3
4
5
5
7
6
11
7
15
8
22
9
30
10
42
11
46
12
77
13
101
14
135
15
176
16
231
17
297
18
385
19
490
20
627
21
792
22
1.002
100
190.569.292
1000
24.061.467.864.032.622.473.692.149.727.991

Pela tabela percebe-se que quanto maior for o valor de n, maior será o valor de p(n). Entretanto, não existe uma forma explícita que permita calcular a quantidade de partições. Além disso, esses valores crescem quase que exponencialmente e de forma imprevisível, de modo que seja difícil detectar algum padrão no crescimento de p(n). Mas este padrão existe!

E isso é exatamente o tipo de problema que tira o sono dos matemáticos: saber que num problema muito simples de ser enunciado, devem existir padrões ocultos escondidos em camadas de complexidade e de caos aparente, tanto que esse problema da partição de um número inteiro despertou o espírito de muitos matemáticos que se dedicaram a ele nos últimos 300 anos.

Como exemplos, podemos citar o famoso Leonard Euler que no século XVIII, criou uma função geradora para determinar as partições, por meio de uma fórmula recursiva. Durante 150 anos esta fórmula foi o único meio de se calcular p(n). Vale lembrar que em 1915 era conhecido apenas até p(200). Anos depois, os matemáticos Hardy e Ramanujan conseguiram comprovar que o comportamento de p(n) era de fato exponencial. Em meados de 1930, o matemático Hans Rademacher descobriu uma fórmula para p(n) que, embora exata, era (matematicamente) inútil, uma vez que implicava somar uma série infinita para calcular um número inteiro.

Ramanujan, matemático com um dom quase sobrenatural para a identificação de padrões, conseguiu descobrir uma propriedade estranha e aparentemente inexplicável nas partições. Ele mostrou que:

p(5n + 4) é divisível por 5 para qualquer n. Veja na tabela que  p(4) = 5,  p(9) = 30, p(14) = 135 e p(19) = 490
p(7n + 5) é divisível por 7 para qualquer n. Veja na tabela que p(5) = 7, p(12) = 77 e p(19) = 490.
p(11n + 6) é divisível por 11 para qualquer n. Veja na tabela que  p(6) = 11 e p(17) = 297.

Com isso, ficou claro que existia uma determinada estrutura escondida no aparente caos das partições, mas que era muito sutil. Mas ainda assim a questão ficou em aberto pois porque essas propriedades só estavam relacionadas com os números primos 5, 7 e 11 ? O que eles têm de especial?

Essa pergunta e, principalmente, a questão da partição de um número inteiro foi resolvida em 2011 quando o matemático da Universidade de Emory, Ken Ono e sua equipe descobriram que as partições de um inteiro se comportam como fractais

 Jan Brunier
A partir das contribuições de Ramanujan, Ken Ono percebeu que as propriedades acima, válidas para os primos 5, 7 e 11, valem, na verdade, para todas as potências dos números primos. Isso somente é possível quando realiza-se uma análise fractal em relação à divisibilidade dos números inteiros, pois percebeu-se uma estrutura infinitamente fina e auto-semelhante (características da teoria fractal) na aritmética das partições.

Dias depois, em janeiro de 2011, veio o segundo resultado: Ken Ono e Jan Brunier conseguiram desenvolver uma fórmula algébrica finita para a função das partições de um número e a denominaram P(z).

Para além das contribuições nas teorias da Matemática pura, essas descobertas sobre as partições apresentam aplicações como, por exemplo, a citada pelo próprio Ken Ono, de que não é mais possível utilizar partições para criptografar dados em computadores. Segundo ele: “Nunca mais ninguém vai usar partições em criptografia, porque sabemos agora que elas não são aleatórias mas sim completamente previsíveis. Não podemos continuar a fingir que são misteriosas”. 












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