domingo, 30 de junho de 2013

Treze livros e um segredo: Euclides e o início da Axiomatização!

Por Anisio Lasievicz

Um dos fatores que leva a Matemática a figurar como exemplo de rigor e formalismo é a estrutura de suas teorias, estabelecidas a partir de noções preliminares, de afirmações que relacionam estas noções e das proposições, teoremas, propriedades e demais consequências deduzidas a partir destas.

A gênese deste modo de construção das teorias matemáticas reside em uma obra intitulada “Os Elementos”, organizada pelo matemático grego Euclides de Alexandria e publicada por volta do ano 300 a.C. Pouco se sabe sobre a vida de Euclides e, muitas das informações obtidas são suspeitas, pois tratam-se de relatos muito posteriores e algumas das situações relacionadas a ele são semelhantes à de outras personagens da Matemática grega. Até mesmo a imagem que você está vendo ao lado é uma concepção artística, pois não há qualquer retrato ou representação que possa ser utilizada como base!

Euclides unificou uma coleção completa de teoremas isolados sobre um simples sistema dedutível através de postulados, definições e axiomas. Grandezas de várias espécies são representadas por linhas retas, planos e regiões limitadas por curvas e retas, ou também por planos e curvas. Como toda teoria de números dos gregos foi incorporada na estrutura geométrica, muitos conceitos impossíveis de serem expressos nesses termos foram excluídos, limitando a Matemática e a Geometria. Idéias como infinito são deixadas de lado e não trabalhadas, situação justificada por Aristóteles da seguinte maneira: “Na realidade, eles não precisam e não usam o infinito. Eles apenas postulam que a linha reta pode ser estendida como quiserem”. Na verdade, os matemáticos gregos evitaram usar a palavra infinito e infinitamente. De qualquer forma, Os Elementos de Euclides foi o início da axiomatização da Matemática pela geometria. Existem fortes indícios de que outros matemáticos escreveram trabalhos estruturados sobre “Os Elementos” antes de Euclides, porém tais trabalhos foram perdidos e não há relatos sobre seus originais.
Página de rosto da tradução para o inglês  feita por Billingsley em 1570.

Apesar da presença da palavra “Geometria” em seu título, Os Elementos de Euclides não tratam apenas desta área do conhecimento. Propriedades e da teoria dos números e da álgebra elementar (geométrica) também são discutidas e demonstradas. O trabalho é estruturado em 5 postulados, 5 noções comuns, várias definições e 465 proposições distribuídas em treze livros. Os textos de geometria plana e espacial das nossas escolas trazem basicamente o material que se encontra nos Livros I, III, IV, VI, XI e XII de Os Elementos. 

A despeito de sua inegável importância, não há nenhuma cópia que date da época de seu autor. As edições modernas baseiam-se em revisões, principalmente na que foi realizada pelo comentador grego Têon de Alexandria, que viveu quase 700 anos depois do tempo de Euclides. Até o início do século XIX ela foi a mais antiga edição dos Elementos conhecida. Em 1808 Napoleão ordena a invasão das bibliotecas italianas e o envio das obras de valor à Paris. F. Peyrard encontrou, na biblioteca do Vaticano, uma cópia do século X da obra que é anterior à revisão de Têon. Estudos meticulosos indicam que o material introdutório do tratado original foi alterado, mas os teoremas e demonstrações, salvo acréscimos e supressões pequenas, permaneceram em essência como foram escritos.

Euclides escreveu pelo menos dez trabalhos, dos quais 5 deles chegaram até nos de forma razoavelmente completa, mas sua fama deve-se, principalmente, à seus Elementos. O trabalho hercúleo superou as tentativas anteriores, pois não há sequer um vestígio de que outros haviam tentado e, tão logo apareceu, ganhou notoriedade e importância. Desde os sucessores de Euclides até hoje, a mera citação do número de um livro e o de uma proposição de sua obra-prima é suficiente para identificar um teorema ou construção particular. 

Entretanto, sob o prisma da lógica e da Matemática moderna, os Elementos não é um trabalho perfeito. Diversas análises mostraram incoerências, suposições tácitas (sem qualquer suporte na teoria que as embase) e outras falhas, as quais foram corrigidas pelos estudos do matemático alemão David Hilbert (1842 – 1943), que reescreveu os Elementos com base na moderna axiomática – Grundlagen der Geometrie (1899).

Apesar destas questões, o trabalho de Euclides é memorável, não só por reunir o conteúdo de Geometria da época mas, sobretudo, por conferir-lhe uma estrutura sistematizada. Foi a 2ª obra com o maior número de edições (perde apenas para a Bíblia), largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum foi mais influente na comunidade e no pensamento científico. Mais de 1000 edições já foram encontradas e há 2 mil anos ela é a base da Geometria dos textos elementares. Outros trabalhos ímpares do pensamento científico como o “Philosophiae naturalis principia mathematica” (Princípios matemáticos da filosofia natural), de Isaac Newton e “A Riqueza das Nações”, do economista escocês Adam Smith foram redigidos seguindo a estrutura estabelecida nos Elementos de Euclides.

Principia.
A Riqueza das Nações.


Para saber mais:




REFERÊNCIAS:

BARON, Margareth E. A Matemática Grega. Vol. I. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985.

BABINI, Jose. Historia de las Ideas Modernas en Matematica. Vol. IV. Washington D.C.: Editora Eva V. Chesnaeau, 1967. (Union Panamericana – Departamento de Assuntos Científicos).

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1995.

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/1parte.html

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