segunda-feira, 30 de maio de 2016

Fita de Möebius

Em 1858 o matemático alemão Augustus Ferdinand Möbius estudou uma superfície com uma propriedade muito interessante. Para entender essa superfície você pode fazer duas construções semelhantes a essas.

Figura 01: Fita de Möbius e fita cilíndrica. Fonte: pizadas.com
Para construir as duas fitas são necessárias duas tiras de papel com 2 cm de largura e 20 cm de comprimento. Na primeira, junte as extremidades porém, antes de colar, é necessário fazer um giro de 180º em uma das pontas. Na segunda apenas cole sem fazer o giro. Agora você tem uma fita de Möbius e uma fita cilíndrica.

A fita cilíndrica possui duas superfícies, uma no interior e outra no exterior. Você pode verificar isso pintando cada uma delas de uma cor diferente. A segunda carrega a propriedade curiosa que Möbius estudou, ela tem apenas uma superfície, isso mesmo, não existe dentro ou fora nesta fita, a isso chamamos de superfície não orientável. Para comprovar esta propriedade, basta colocar uma caneta num determinado ponto e construir uma linha sem tirar a caneta da fita. É fácil perceber que a linha desenhada pela caneta irá cobrir toda a área da fita voltando no mesmo lugar. Esta área e igual às áreas interna e externa da fita cilíndrica. É muito comum ao se explicar a propriedade da fita imaginar uma formiga caminhando nela. Ao caminhar pela fita de Möbius a formiga irá cobrir toda a área sem a necessidade de passar pelas bordas, enquanto que se a formiga caminhar pela fita cilíndrica ela cobrirá apenas a metade da superfície, ou seja, para cobrir os dois lados ela terá que passar pela borda da fita.

Figura 2: A formiga percorre por toda a área da fita. Fonte: Blog: Mara educare

Além de contribuir nos estudos de topologia, a fita de Möbius é aplicada em vários instrumentos que utilizam fitas e correias em instrumentos mecânicos. Como não existe orientação nela a duração deste equipamento será o dobro de uma fita cilíndrica. As fitas cilíndricas possuem uma orientação então, se utilizadas para os mesmos fins, terão apenas um lado gasto pelo equipamento.

Um fato curioso, apesar da fita levar o nome de Möbius, ele não foi o primeiro a estuda-la. Alguns meses antes o arquiteto e matemático Johann Benedict Listing (1808-1882) já havia estudado a fita.

Figura 3: Augustus Ferdinand Möbius (1790 – 1868). Fonte: Wikimedia

Por Wellington Schühli de Carvalho


REFERÊNCIAS


Stewart, Ian. Será que Deus Joga Dados?. 2ª Edição, Rio de Janeiro, Editora Zahar, 2011.
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